Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且過點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是橢圓在第一象限上的任一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個(gè)定值；
（III）在第(Ⅱ)問的條件下，作，設(shè)交于點(diǎn)，
證明:當(dāng)點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在某定直線上.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程為；(Ⅱ)3；（III）點(diǎn)在直線上.

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點(diǎn)求出橢圓的焦點(diǎn)，又橢圓過點(diǎn)，得：，
且，，解方程組可得橢圓的方程：
(Ⅱ)設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)和切線的方程，利用直線和橢圓相切的條件，證明為定值.
（III）利用(Ⅱ)的結(jié)果,由,寫出直線的方程,可解出交于點(diǎn)
的坐標(biāo),進(jìn)而證明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在某定直線上.

試題解析：(Ⅰ)由題意得 ，
又，         2分
消去可得，，解得或（舍去），則，
求橢圓的方程為．        4分
(Ⅱ)設(shè)直線方程為，并設(shè)點(diǎn)，
由.
，         6分
，當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相交，所以，，
由得，，       8分
，整理得：.而,代入中得
為定值.        10分
（用導(dǎo)數(shù)求解也可，若直接用切線公式扣4分，只得2分）
（III）的斜率為：，又由,
從而得直線的方程為：,聯(lián)立方程,
消去得方程，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033319614461.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以 ，
即點(diǎn)在直線上.         14分