Question

等差數列中，a₄=14，前n項和為S_n，S₈=124．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=n（a₂ⁿ-2），求數列{b_n}和前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設出等差數列的首項和公差，由已知列方程組求出首項和公差，則{a_n}的通項公式可求；
（2）由（1）求出a₂，代入b_n=n（a₂ⁿ-2），然后分組，再用錯位相減法及等差數列的求和公式求和．

解答： 解：（1）設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
由a₄=14，S₈=124，得：

a1+3d=14 8a1+ 8×7 2 d=124

，解得

a1=5 d=3

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=5+3（n-1）=3n+2；
（2）由（1）知，a₂=8．
∴b_n=n（a₂ⁿ-2）=n（8ⁿ-2）=n•8ⁿ-2n，
則數列{b_n}和前n項和T_n=（1×8¹-2×1）+（2×8²-2×2）+…+（n•8ⁿ-2n）
=（1×8+2×8²+…+n•8ⁿ）-2（1+2+…+n）
令S1=1×8+2×82+…+n•8n．
得8S1=1×82+2×83+…+n•8n+1．
兩式作差得-7S1=8+82+83+…+8n-n•8n+1=

8(1-8n)

1-8

-n•8ⁿ⁺¹，
∴S1=

(7n-1)8n+1+8

49

．
∴T_n=

(7n-1)8n+1+8

49

-n2-n．

點評：本題考查了等差數列通項公式的求法，考查了分組求和及錯位相減法求數列的和，是中檔題．