Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點，與短軸的一個端點構成一個等邊三角形，且直線與圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓的左頂點的兩條直線，分別交橢圓于，兩點，且，求證：直線過定點，并求出定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）根據橢圓的兩個焦點，與短軸的一個端點構成一個等邊三角形，以及直線與圓相切.，可得求解即可.

（2）由題意知，設：，，與橢圓方程聯立，分別求得點M，N的坐標，寫出MN的直線方程化簡即可.，

（1）由題意可得：，

即，解得，

，

∴橢圓的方程為：

（2）由題意知，設：，.

由消去得：，

解得：或（舍去），

，同理可得：.

i：當時，直線斜率存在，

，

所以

即，

∴直線過定點.

ii：當時，直線斜率不存在，

直線方程為：，也過定點，

綜上所述：直線過定點.