【題目】已知橢圓C：
（
）的焦距等于短軸的長，橢圓的右頂點到左焦點
的距離為
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l：
（
）與橢圓C交于A、B兩點，在y軸上是否存在點
，使得
，且
，若存在，求實數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
（1）由題意可得
的關(guān)系,解方程組求得,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)
,
,聯(lián)立直線與橢圓方程,用韋達(dá)定理表示出
,
,利用弦長公式表示出
.化簡后用
表示出
,再通過判別式判斷出的取值范圍. 設(shè)出
中點
的坐標(biāo),由點斜式表示出直線
的方程,并令
求得
的表達(dá)式及取值范圍即可.
（1）依題意橢圓的焦距等于短軸的長,橢圓的右頂點到左焦點
的距離為
可得
,
解得
,
所以所求橢圓方程為；
（2）設(shè),,
由
,
得
,
,
∵
,
,
假設(shè)存在點
滿足題意,
,
化簡整理得
,
此時
恒成立,
所以
且
,
設(shè)中點,
則
,
,
由
,則在線段AB的中垂線上.
因為,
直線的方程為
,
令,則
,
∴
,
∵,
∴
,
∴
,
∴
,
∴
或
,
綜上,存在
滿足題意.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知點
、
，
（1）若
兩點到直線
的距離都為
，求直線的方程；
（2）若兩點到直線的距離都為
，試根據(jù)
的取值討論直線存在的條數(shù)，不需寫出直線方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某幼兒園舉辦“yue”主題系列活動——“悅”動越健康親子運動打卡活動，為了解小朋友堅持打卡的情況，對該幼兒園所有小朋友進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：
打卡天數(shù) | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
男生人數(shù) | 3 | 5 | 3 | 7 | 2 |
女生人數(shù) | 3 | 5 | 5 | 7 | 3 |
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該幼兒園男生平均打卡的天數(shù)；
（2）若從打卡21天的小朋友中任選2人交流心得，求選到男生和女生各1人的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
，
，設(shè)直線
，其中
，給出下列結(jié)論：
①直線
的方向向量與向量
共線；
②若
，則直線與直線
的夾角為
；
③直線與直線
（
）一定平行；
寫出所有真命題的序號________
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知直線
的方程為
，曲線
是以坐標(biāo)原點
為頂點，直線為準(zhǔn)線的拋物線.以坐標(biāo)原點為極點，
軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
（1）分別求出直線與曲線的極坐標(biāo)方程：
（2）點
是曲線上位于第一象限內(nèi)的一個動點，點
是直線上位于第二象限內(nèi)的一個動點，且
，請求出
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
：
的左、右焦點分別是
、
，左、右兩頂點分別是
、
，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段CD相交于點
如圖)．
⑴若
是的一條漸近線的一個方向向量，試求的兩漸近線的夾角
；
⑵若
，
，
，
，試求雙曲線的方程；
⑶在⑴的條件下，且
，點C與雙曲線的頂點不重合，直線
和直線
與直線l：
分別相交于點M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經(jīng)過定點？若是，請求出定點的坐標(biāo)；若不是，試說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠預(yù)購軟件服務(wù)，有如下兩種方案：
方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務(wù)每次10元；
方案二：軟件服務(wù)公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務(wù)不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次收費標(biāo)準(zhǔn)為20元.
（1）設(shè)日收費為
元，每天軟件服務(wù)的次數(shù)為
，試寫出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該工廠對過去100天的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2.
（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角OEFC的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點，且AH=
HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.
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