Question

已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(cosx，-

1

2

)．
（1）當

a

⊥

b

時，求|

a

+

b

|的值；
（2）求函數f(x)=

a

•(2

b

-

a

)+cos2x的最大值，并求出f（x）取得最大值時x的集合．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量垂直時數量積為0，可得

a

•

b

=0，然后把所求的式子利用

a2

=|a|變形后，被開方數再利用完全平方公式化簡，利用

a

2=|

a

|2以及

a

•

b

=0化簡后，利用同角三角函數間的基本關系變形，開方可得值；
（2）把函數f（x）的解析式先利用平面向量的數量積運算法則計算后，再利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，前兩項提取

2

后，利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據這個角等于2kπ+

π

2

時，正弦函數的最大值為1，求出函數f（x）的最大值，進而求出此時滿足題意的x的集合．

解答：解：（1）當

a

⊥

b

時，

a

•

b

=0，
則|

a

+

b

|=

a 2+2 a • b + b 2

=

sin2x+1+cos2x+ 1 4

=

3

2

；
（2）f（x）=2

a

•

b

-

a

2+cos2x=2sinxcosx-1-sin2x-1+cos2x
=sin2x+cos2x-2=

2

sin(2x+

π

4

)-2，
∴當sin(2x+

π

4

)=1?2x+

π

4

=

π

2

+2kπ?x=

π

8

+kπ（k∈Z）時，f（x）取得最大值

2

-2，
此時x的集合是{x|x=

π

8

+kπ，k∈Z}．

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，三角函數的恒等變形，以及三角函數的最值，要求學生掌握平面向量的數量積運算法則，二倍角的正弦、余弦函數公式，以及兩角和與差的正弦函數公式，其中利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．