Question

【題目】如圖，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB=90°，點B1在底面內的射影恰好是BC的中點，且BC=CA=2．
（1）求證：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；
（2）若二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為 ，求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中點M，連接B1M，則B1M⊥平面ACB，

∴B1M⊥AC

又AC⊥BC，且B1M∩BC=M，∴AC⊥平面B1C1CB

因為AC平面ACC1A1，所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB

（2）解：

以CA為ox軸，CB為oy軸，過點C與面ABC垂直方向為oz軸，

建立空間直角坐標系CA=BC=2，設B1M=t，則A（2，0，0），

B（0，2，0），M（0，1，0），B1（0，1，t），C1（0，﹣1，t）

即

設面AB1B法向量 ，

∴ ，

同理面AB1C1法向量

因為二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為 ，

∴ ，

∴t4+29t2﹣96=0

∴t2=3，

所以斜三棱柱的高為 ．

【解析】（1）取BC中點M，連接B1M，證明B1M⊥AC，AC⊥BC，AC⊥平面B1C1CB，然后證明平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）以CA為ox軸，CB為oy軸，過點C與面ABC垂直方向為oz軸，建立空間直角坐標系，設B1M=t，求出相關點的坐標，求出平面AB1B法向量，平面AB1C1法向量，利用二面角B﹣AB1﹣C1的余弦值為 ， 轉化求解斜三棱柱的高即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．