Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，AB=

3

，BC=1，PA=2，E為PD的中點．
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側面PAB內找一點N，使NE⊥面PAC，并求出N點到AB和AP的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設AC∩BD=O，連OE，將PB平移到OE，根據異面直線所成角的定義可知∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角，在△AOE中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；
（Ⅱ）在面ABCD內過D作AC的垂線交AB于F，連PF，設N為PF的中點，連NE，則NE∥DF，根據線面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC，則N點到AB的距離即為

1

2

AP，N點到AP的距離即為

1

2

AF．

解答：解：（Ⅰ）設AC∩BD=O，連OE，則OE∥PB，
∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角．
在△AOE中，AO=1，OE=

1

2

PB=

7

2

，AE=

1

2

PD=

5

2

，
∴cosEOA=

1+ 7 4 - 5 4

2× 7 2 ×1

=

3 7

14

．
即AC與PB所成角的余弦值為

3 7

14

．
（Ⅱ）在面ABCD內過D作AC的垂線交AB于F，則∠ADF=

π

6

．
連PF，則在Rt△ADF中DF=

AD

cosADF

=

2 3

3

，AF=ADtanADF=

3

3

．
設N為PF的中點，連NE，則NE∥DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC．從而NE⊥面PAC．
∴N點到AB的距離=

1

2

AP=1，N點到AP的距離=

1

2

AF=

3

6

．

點評：本題主要考查了異面直線的所成角，以及點到線的距離的計算，同時考查了空間想象能力、計算能力和推理能力，屬于中檔題．