Question

某民營企業生產A、B兩種產品，根據市場調查和預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1所示；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2所示（利潤與投資單位：萬元）．

（1）分別將A、B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
（2）該企業已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）根據函數的模型設出函數解析式，從兩個圖中分別找出特殊點坐標，代入函數解析式求出兩個函數解析式．
（2）將企業獲利表示成對產品B投資x的函數；將函數中的

x

換元為t，將函數轉化為二次函數，求出對稱軸，求出函數的最值．

解答：解：（1）設投資為x萬元，
A、B兩產品獲得的利潤分別為f（x）、g（x）萬元，
由題意，f(x)=k1x，g(x)=k2

x

，(k1，k2≠0；x≥0)（3分）
又由圖知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；
解得k1=

1

4

，k2=

5

4

∴f(x)=

1

4

x(x≥0)；g(x)=

5

4

x

(x≥0)（8分）
（2）設對B產品投資x萬元，則對A產品投資（10-x）萬元，
記企業獲取的利潤為y萬元，
則y=

1

4

(10-x)+

5

4

x

(x≥0)（10分）
設

x

=t，則x=t²，(0≤t≤

10

)
∴y=-

1

4

(t-

5

2

)2+

65

16

當t=

5

2

也即x=

25

4

時，y取最大值

65

16

（14分）
答：對B產品投資

25

4

萬元，對A產品投資

15

4

萬元時，
可獲最大利潤

65

16

萬元．

點評：本題考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題、考查利用待定系數法求函數的解析式、考查換元法注意新變量的范圍、二次函數的最值與對稱軸有關．