Question

某民營企業生產A，B兩種產品，根據市場調查和預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2（注：利潤與投資單位是萬元）
（1）分別將A，B兩種產品的利潤表示為投資的函數，并寫出它們的函數關系式．
（2）該企業已籌集到10萬元資金，并全部投入A，B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元．（精確到1萬元）．

Answer 1

分析：（1）根據函數的模型設出函數解析式，從兩個圖中分別找出特殊點坐標，代入函數解析式求出兩個函數解析式．
（2）將企業獲利表示成對產品B投資x的函數，再用換元法，將函數轉化為二次函數，即可求出函數的最值．

解答：解：（1）投資為x萬元，A產品的利潤為f（x）萬元，B產品的利潤為g（x）萬元，
由題設f（x）=k₁x，g（x）=k₂

x

，（k₁，k₂≠0；x≥0）
由圖知f（1）=

1

4

，∴k₁=

1

4

又g（4）=

5

2

，∴k₂=

5

4

         
從而f（x）=

1

4

x，g（x）=

5

4

x

（x≥0）
（2）設A產品投入x萬元，則B產品投入10-x萬元，設企業的利潤為y萬元
y=f（x）+g（10-x）=

1

4

x+

5

4

10-x

，（0≤x≤10），
令

10-x

=t，∴y=

10-t2

4

+

5

4

t=-

1

4

(t-

5

2

)2+

65

16

（0≤t≤

10

）
當t=

5

2

，y_max≈4，此時x=3.75
∴當A產品投入3.75萬元，B產品投入6.25萬元時，企業獲得最大利潤約為4萬元．

點評：本題考查利用待定系數法求函數的解析式、考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題．解題的關鍵是換元，利用二次函數的求最值的方法求解．