Question

【題目】已知圓，直線。

（Ⅰ）求證：直線與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；

（Ⅱ）求出直線被圓C截得的最短弦長(zhǎng)，并求出截得最短弦長(zhǎng)時(shí)的的值；

（Ⅲ）設(shè)直線與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)為M，N，且（點(diǎn)C為圓C的圓心），求直線的方程。

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) ， (3)

【解析】試題分析：（1）直線可化為，證明直線過(guò)圓的內(nèi)部定點(diǎn)，即可證明結(jié)論；(2)弦的中點(diǎn)與圓心連線與弦垂直時(shí)弦長(zhǎng)最小，利用勾股定理可得結(jié)果；(3) 設(shè)與的夾角為，由，可得，從而，可得點(diǎn) 到直線的距離為 ，利用點(diǎn)到直線距離公式求出列方程求得，從而可得直線的方程.

試題解析：（1）直線可化為，因此直線過(guò)定點(diǎn)A（2，-1），

顯然該點(diǎn)A在圓的內(nèi)部

所以直線與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)。

(2)圓心C（1，-2），半徑

所以弦長(zhǎng)

此時(shí)

所以。

(3)設(shè)與的夾角為，因?yàn)?/span>

所以，從而，所以點(diǎn)C到直線的距離為1

即，所以

所以直線的方程是。