Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內(nèi)有極值．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）若x₁∈（0，），x₂∈（2，+∞）且a∈[，2]時(shí)，求證：f（x₂）﹣f（x₁）≥ln2+．

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想，突出考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，先對(duì)求導(dǎo)，由函數(shù)定義域可知，的分母為正數(shù)，設(shè)的分子為新函數(shù)，判斷，所以或，解得的取值范圍；第二問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，令，設(shè)出方程的兩根，利用韋達(dá)定理得到兩根之和、兩根之積，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，決定函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值和最小值，代入求證的式子的左邊，化簡(jiǎn)，得到，再求函數(shù)的最小值，通過(guò)不等式的傳遞性得到求證的表達(dá)式.
試題解析： （I）由（），得：，
∵a≠0，令，∴．
令或， 則．
(II）由（I）得：，
設(shè)（）的兩根為，
則，得．
當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
則，，
則
==（利用）
令，則，
則函數(shù)單調(diào)遞增， ，
∴，
∵，則，
∴．
考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.零點(diǎn)問(wèn)題；3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；4. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值；5.不等式的性質(zhì).