Question

已知向量，函數f（x）=．
（1）求函數y=f（x）的最小正周期以及單調遞增區間；
（2）當時，f（x）有最大值4，求實數t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2x+）+t+1，由此求出它的周期，再由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出x的范圍，即可求得函數的單調遞增區間．
（2）當時，≤2x+≤，1≤2sin（2x+）≤2，由此求得t+2≤f（x）≤t+3，再由最大值為4，可得 t+3=4，從而求得t的值．
解答：解：（1）函數f（x）==2cos²x+t+sin2x=1=cos2x+1+t+sin2x=2sin（2x+）+t+1．
故它的最小正周期為 =π．
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，
故函數的單調遞增區間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）當時，≤2x+≤，∴1≤2sin（2x+）≤2，
∴t+2≤f（x）≤t+3．
由于（x）有最大值4，故 t+3=4，t=1．
點評：本題主要考查兩個向量數量積公式，三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的單調性，三角函數的周期性和求法，屬于中檔題．