Question

已知橢圓G：＋y²＝1.過軸上的動點(m,0)作圓x²＋y²＝1的切線l交橢圓G于A，B兩點．
（1）求橢圓G上的點到直線的最大距離;
（2）①當實數時,求A，B兩點坐標;
②將|AB|表示為m的函數，并求|AB|的最大值．

Answer 1

（1）；（2）①當時點的坐標分別為；② 2

試題分析：（1）設出與直線平行的直線，并與橢圓方程聯立消去（或）得關于的一元二次方程，令判別式為0解得的值（應為2個值）。此時直線與橢圓相切，分析可知取負值時兩直線距離最大，此距離即為橢圓上的點到直線的最大距離。（2）①當時，切線的方程為，代入橢圓方程可得坐標。②分析可知，由①可知當時。當時，切線斜率存在設切線方程為，根據切線與圓相切即圓心到直線的距離等于半徑可得與間的關系式。再將切線方程與橢圓方程聯立消去（或）得關于的一元二次方程，可知判別式應大于0且可得根與系數的關系，根據弦長公式可得，根據與間的關系式可消去一個量，可用基本不等式求最值。
（1）設直線，帶入橢圓方程得，
得，（4分）
由圖形得直線與直線的距離為橢圓G上的點到直線的最大距離為（6分）
（2）①由題意知，.
當時，切線的方程為，點的坐標分別為，此時.（8分）
當時，同理可得.（9分）
②當|m|＞1時，設切線的方程為．
由得.（10分）
設兩點的坐標分別為，則
.
又由與圓相切，得，即.（11分）
所以.（12分）
由于當時，，所以，．
因為，（13分）
且當時，，所以的最大值為2.