Question

【題目】高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數目都比上一排多一個，一排中各個釘子恰好對準上面一排兩相鄰鐵釘的正中央.從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當小球從兩釘之間的間隙下落時，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘的間隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.

（Ⅰ）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？

（Ⅱ）一數學興趣小組取3個小球進行試驗，設其中落入4號容器的小球個數為，求的分布列與數學期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列見解析，數學期望是

【解析】

（Ⅰ）若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，根據二項分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4號容器的小球個數的可能取值為0，1，2，3，算出對應事件概率，利用離散型隨機變量分布列數學期望的公式可求得結果.

解：（Ⅰ）記“小球落入4號容器”為事件，

若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，

∴理論上，小球落入4號容器的概率.

（Ⅱ）落入4號容器的小球個數的可能取值為0，1，2，3，

∴，，

，，

∴的分布列為：

	0	1	2	3

∴.