Question

【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為，且圓C與y軸交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方），直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)。

（1）若，求實(shí)數(shù)k的值。

（2）設(shè)直線AM，直線BN的斜率分別為，若存在常數(shù)使得恒成立？若存在，求出a的值.若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）若直線AM與直線BN相較于點(diǎn)P，求證點(diǎn)P在一條定直線上。

Answer 1

【答案】（1）.

（2）存在實(shí)數(shù)，使得恒成立；理由見解析.

（3）證明見解析.

【解析】分析：（1）先設(shè)出直線的方程，利用圓中的特殊三角形：弦心距，半弦長(zhǎng)和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，勾股定理求得結(jié)果；

（2）先假設(shè)存在，利用題的條件，得到其相關(guān)的式子，求得對(duì)應(yīng)的值，得到結(jié)果；

（3）根據(jù)題意，得到點(diǎn)所滿足的條件，從而求得結(jié)果.

詳解：（1）∵圓： ∴圓心，半徑

∵直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且

∴圓心到的距離為 ∴，解得：

∵ ∴

（2）∵圓與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方）

∴ ∴，設(shè)

直線與圓方程聯(lián)立：，化簡(jiǎn)得：

∴，同理可求：

∵三點(diǎn)共線，且，

∴，化簡(jiǎn)得：

∵ ∴，即

∴存在實(shí)數(shù)，使得恒成立．

（3）設(shè) ∴ 且 ∴

由（2）知：，代入得：為定值

∴點(diǎn)在定直線上．