Question

【題目】如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，,點(diǎn)為的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為，求此時(shí)的長及點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1) 連結(jié)AD1，交A1D于點(diǎn)O，由EO為△ABD1的中位線，能證明BD1∥平面A1DE;

(2) 以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)法即可得到結(jié)果.

（1）證明：連結(jié)AD1，交A1D于點(diǎn)O，

∵四邊形ADD1A1為正方形，

∴O是AD1的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接OE．

∴EO為△ABD1的中位線，∴EO∥BD1，

又∵BD1不包含于平面A1DE，OE平面A1DE，

∴BD1∥平面A1DE．

（2）由題意可得：,以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

B ( 1,2,0 ),E(1,1,0),

設(shè)

設(shè)平面的法向量為

則 得

取是平面的一個(gè)法向量，而平面的一個(gè)法向量為 要使二面角的大小為

而

解得：，故=，此時(shí)

故點(diǎn)E到平面的距離為