Question

（本題滿分14分） 設公比為正數的等比數列的前項和為，已知，數列滿足．
（Ⅰ）求數列和的通項公式；
（Ⅱ）是否存在，使得是數列中的項？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）當t=-1或t=-2時,即m=5或m=6時, 是數列中的項

解：（Ⅰ）設的公比為q，則有
則，.
即數列和的通項公式為，.      ……6′
（Ⅱ），令,所以
,
如果是數列中的項,設為第項，則有，那么為小于等于5的整數，所以.                     ……4′
當t=1或t=2時, ,不合題意;
當t=1或t=2時, ,符合題意.
所以,當t=-1或t=-2時,即m=5或m=6時, 是數列中的項. ……8
思路分析：第一問利用已知的項的關系式聯立方程組可知公比，和首項，求解得到通項公式。
第二問中，，令,所以
,
如果是數列中的項,設為第項，則有，那么為小于等于5的整數，所以t=-2,-1,1,2
所以,當t=-1或t=-2時,即m=5或m=6時, 是數列中的項.