Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a₂=4．f（x）=a_n-1x³-3（3a_n-a_n+1）x+1在x=

2

處取得極值．
（1）證明數列{a_n+1-a_n}是等比數列，并求出數列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=2(1-

1

an

)，數列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（3）是否存在指數函數g（x），使得對于任意正整數n，都有

n

k=1

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

成立，若存在，求出滿足條件的一個指數函數g（x）：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知條件先將x=代入f′（x）中即可求出（a_n+1-a_n）與（a_n-a_n-1）的關系，從而證明數列{a_n+1-a_n}是等比數列，進而求出數列an的通項公式；
（2）根據前面求得的an的通項公式即可求出bn的通項公式，然后求出其前n項和的表達式，即可求出使S_n＞2008的n的最小值為1005；
（3）存在，根據題意先求出

1

(ak+1)(ak+1+1)

的表達式，然后令g（x）=2x即可得出

n

k=1

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

成立．

解答：解：（1）f'（x）=3a_n-1x²-3（3a_n-a_n+1）（n≥2）
依題意得：f′(

2

)=0，∴2a_n-1-（3a_n-a_n+1）=0（2分）
∴（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵a₁=2，a₂=4，
∴a₂-a₁=2≠0，
a_n+1-a_n≠0，
故數列{a_n+1-a_n}是公比為2的等比數列（4分）
∴a_n+1-a_n=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）+…+（a₂-a₁）+a₁
an=2n-1+2n-2+2n-3++21+2=

2(1-2n-1)

1-2

+2=2n(n≥2)
又a₁=2滿足上式，∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）（6分）
（2）由（1）知bn=2(1-

1

2n

)=2-

1

2n-1

，
∴Sn=2n-（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=2n-

1- 1 2n

1- 1 2

=2n-2（1-

1

2n

）=2n-2+

1

2n-1

，
由S_n＞2008得：n-1+

1

2n

＞1004，
即n+

1

2n

＞1005，所以n的最小值為1005（10分）；
（3）

1

(ak+1)(ak+1+1)

=

1

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k

(

1

2k+1

-

1

2k+1+1

)（11分）
令g（k）=2^k，則有

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

=

1

2k+1

-

1

2k+1+1

，

n

k=1

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

=

n

k=1

 (

1

2k+1

-

1

2k+1+1

)=(

1

2+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2k+1

- 

1

2k+1+1

)=

1

3

-

1

2k+1+1

＜

1

3

（13分）
存在指數函數g（x）=2^x，使得對于任意正整數n，都有

n

k=1

 

g(k)

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

（14分）

點評：本題主要考查了數列的通項公式和數列的求和以及數列與不等式的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．