Question

（2012•江蘇一模）已知橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，過橢圓的右焦點且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點M，若△PQM為正三角形，則橢圓的離心率等于

3

3

．

Answer 1

分析：先求出FQ 的長，直角三角形FMQ中，由邊角關(guān)系得 tan30°=

FQ

MF

，建立關(guān)于離心率的方程，解方程求出離心率的值．

解答：解：由已知得 FQ=

b2

a

，MF=

a2

c

-c，
因為橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，過橢圓的右焦點且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點，
橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點M，若△PQM為正三角形，
所以tan30°=

3

3

=

FQ

MF

=

b2 a

a2 c -c

=

c

a

=e 
所以e=

3

3

，
故答案為：

3

3

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，解方程求離心率的大小．