Question

給出下列命題：
①存在實數x，使得sinx+cosx=

3

2

；
②若α，β為第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ；
③函數y=sin(

π

3

-

2x

5

)是最小正周期為5π；
④函數y=cos(

2x

3

+

7π

2

)是奇函數；
⑤函數y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位，得到y=sin(2x+

π

4

)的圖象．
其中正確命題的序號是

③④

．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

分析：分析sinx+cosx的最值，可以判斷①的真假；
舉出兩個均在第一象限，但終邊重合不相等的角，可以用特值法排除②；
根據正余弦函數最小正周期的求法，求出函數的最小正周期，可以判斷③的真假；
利用誘導公式對函數的解析式進行化簡，結合正弦型函數的奇偶性可判斷④的真假；
根據三角函數的平移變換法則，求出平移后函數的解析式可判斷⑤的真假；

解答：解：sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，其最大值

2

＜

3

2

，故①錯誤；
令α=390°，β=30°均為第一象限角，且α＞β，則tanα=tanβ，故②錯誤；
函數y=sin(

π

3

-

2x

5

)是最小正周期為T=

2π

2 5

=5π，故③正確；
函數y=cos(

2x

3

+

7π

2

)=sin

2x

3

是奇函數，故④正確；
函數y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位，得到y=sin2(x+

π

4

)=sin(2x+

π

2

)的圖象，故⑤錯誤；
故答案為：③④

點評：本題是三角函數的綜合應用，綜合的考查了三角函數的值域（最值）、單調性、周期性、奇偶性及函數圖象的平移，熟練掌握這些基礎的知識點是解答本題的關鍵．