Question

給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)x，使得sinx+cosx=

π

3

；
②函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位，得到y=sin(2x+

π

4

)的圖象；
③函數(shù)y=sin(

2

3

x-

7

2

π)是偶函數(shù)；
④已知α，β是銳角三角形ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則sinα＞cosβ．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)為

3

．

Answer 1

分析：利用和差角公式，及正弦型函數(shù)的值域，可判斷①的真假；
根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則，結(jié)合已知求出平移后函數(shù)的解析式，比照后可判斷②的真假；
利用誘導(dǎo)公式，將已知函數(shù)解析式化為余弦型函數(shù)，可判斷③的真假；
根據(jù)已知臨到α＞

π

2

-β，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得④的真假

解答：解：sinx+cosx∈[-

2

，

2

]，

π

3

∈[-

2

，

2

]，故①正確；
將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位，得到y=sin[2(x-

π

4

)]的圖象．故②錯(cuò)誤；
函數(shù)y=sin(

2

3

x-

7

2

π)=com(

2

3

x)是偶函數(shù)，故③正確；
已知α，β是銳角三角形ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則α+β＞

π

2

，則α＞

π

2

-β，sinα＞sin(

π

2

-β)=cosβ，故④正確
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的性質(zhì)，命題的真假判斷與應(yīng)用，其中熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．