Question

已知，其中是自然常數，

（Ⅰ）當時, 研究的單調性與極值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證： ；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的極小值為；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（1）因為，，那么求解導數的正負，得到單調性的求解。

（2） 的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，，構造函數令，確定出最大值。比較大小得到。

解：（Ⅰ），   ……2分

∴當時，，此時單調遞減

當時，，此時單調遞增   …………4分 

∴的極小值為                         ……6分

（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，……5分

令，，  …………8分

當時，，在上單調遞增  ………9分

∴     ………11分

∴在（1）的條件下，……………………………12分

考點：本題主要考查了導數在研究函數中的運用。

點評：解決該試題的關鍵是利用導數的正負判定函數單調性，和導數為零點的左右符號的正負，進而得到函數極值，進而求解最值。