Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中c=2，又向量

m

=（1，cosC），

n

=（cosC，1），

m

•

n

=1．
（1）若A=45°，求a的值；
（2）若a+b=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)

m

•

n

=1，得到cosC的值，根據(jù)C的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，然后利用正弦定理，由c和A的值求出a的值即可；
（2）根據(jù)c和cosC的值，利用余弦定理表示出一個(gè)關(guān)于a與b的關(guān)系式，由a+b的值求出ab的值，然后利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=cosC+cosC=2cosC=1，
∴cosC=

1

2

，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°，
由正弦定理得，

a

sin45°

=

2

sin60°

，
∴a=

2 2

3

=

2 6

3

；

（2）∵c=2，∠C=60°∴a²+b²-2abcos60°=4，
∴a²+b²-ab=4，
又∵a+b=4，∴a²+b²+2ab=16，∴ab=4，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題要求學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，利用運(yùn)用正弦、余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，是一道多知識(shí)的綜合題．