Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則cos²A+cos²C的取值范圍是

[

1

2

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：由A，B及C成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出B的度數(shù)，進(jìn)而得到A+C的度數(shù)，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)所求式子，再利用積化和差變形，把A+C的度數(shù)代入，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)為一個(gè)角的余弦函數(shù)，由余弦函數(shù)的值域即可得到所求式子的范圍．

解答：解：∵A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=60°，即A+C=120°，
cos²A+cos²C
=

1+cos2A

2

+

1+cos2c

2

=1+

cos2A+cos2C

2

=1+cos（A+C）cos（A-C）
=1-

1

2

cos（A-C），
∵-1≤cos（A-C）≤1，
∴

1

2

≤1-

1

2

cos（A-C）≤

3

2

，
則cos²A+cos²C的取值范圍是[

1

2

，

3

2

]．
故答案為：[

1

2

，

3

2

]

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，二倍角的余弦函數(shù)公式，積化和差公式，以及余弦函數(shù)的值域，利用三角函數(shù)的恒等變形把所求式子化為一個(gè)角的余弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵．