Question

在圖1至圖3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點。四邊形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中點是M。

（1）如圖1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM = MH，FM⊥MH；

（2）將圖1中的CE繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖2，求證：△FMH是等腰直角三角形；

（3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，△FMH還是等腰直角三角形嗎？（直接寫出結論，不必證明）。

Answer 1

（1）證明：∵四邊形BCGF和CDHN都是正方形，又∵點N與點G重合，點M與點C重合，∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°∴△FBM ≌ △MDH．∴FM = MH  ∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°，∴FM⊥HM ；（2）證明：連接MB、MD，設FM與AC交于點P∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點∴MD∥BC，且MD = BC = BF；   MB∥CD，且MB=CD=DH∴四邊形BCDM是平行四邊形∴ ∠CBM =∠CDM又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH∴△FBM ≌ △MDH∴FM = MH，且∠MFB =∠HMD又∵MD∥BC，∴∠FMD=∠APM∴∠FMH =∠FMD-∠HMD =∠APM-∠MFB =∠FBP = 90°∴△FMH是等腰直角三角形 ；（3）解：△FMH是等腰直角三角形。