Question

【題目】已知⊙和點.過作⊙的兩條切線，切點分別為且直線的方程為．

(1)求⊙的方程；

(2)設為⊙上任一點，過點向⊙引切線，切點為， 試探究：平面內是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據圓的切點弦方程可得，再與條件對比可得（2）為定值，可得P的軌跡方程，再與⊙方程對比可得參數，即得定值

試題解析：（1）以為直徑的圓為： ，設圓的半徑為，

故⊙的方程為，∴切點弦的方程為： ，

∴解得，故⊙的方程為．

（2）假設存在這樣的點，點的坐標為，相應的定值為，

根據題意可得，∴，

即 （*），

又點在圓上∴，即，代入（*）式得：

，若系數對應相等，則等式恒成立，

∴，解得，

∴可以找到這樣的定點，使得為定值. 如點的坐標為時，比值為；

點的坐標為時，比值為．