Question

（14分）（2011•湖北）平面內與兩定點A₁（﹣a，0），A₂（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上A₁、A₂兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓成雙曲線．
（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；
（Ⅱ）當m=﹣1時，對應的曲線為C₁；對給定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），對應的曲線為C₂，設F₁、F₂是C₂的兩個焦點．試問：在C₁上，是否存在點N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

試題分析：（Ⅰ）設動點為M，其坐標為（x，y），求出直線A₁、MA₂M的斜率，并且求出它們的積，即可求出點M軌跡方程，根據圓、橢圓、雙曲線的標準方程的形式，對m進行討論，確定曲線的形狀；（Ⅱ）由（I）知，當m=﹣1時，C₁方程為x²+y²=a²，當m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）時，C₂的焦點分別為F₁（﹣a，0），F₂（a，0），假設在C₁上存在點N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，的充要條件為，求出點N的坐標，利用數量積和三角形面積公式可以求得tanF₁NF₂的值．
解：（Ⅰ）設動點為M，其坐標為（x，y），
當x≠±a時，由條件可得，
即mx²﹣y²=ma²（x≠±a），
又A₁（﹣a，0），A₂（a，0）的坐標滿足mx²﹣y²=ma²．
當m＜﹣1時，曲線C的方程為，C是焦點在y軸上的橢圓；
當m=﹣1時，曲線C的方程為x²+y²=a²，C是圓心在原點的圓；
當﹣1＜m＜0時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓；
當m＞0時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的雙曲線；
（Ⅱ）由（I）知，當m=﹣1時，C₁方程為x²+y²=a²，
當m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）時，C₂的焦點分別為F₁（﹣a，0），F₂（a，0），
對于給定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），C₁上存在點N（x₀，y₀）（y₀≠0），使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，
的充要條件為
由①得0＜|y₀|≤a，由②得|y₀|=，
當0＜≤a，即，或時，
存在點N，使S=|m|a²，
當，即，或時，不存在滿足條件的點N．
當m∈[，0）∪（0，]時，由=（﹣a﹣x₀，﹣y₀），=（a﹣x₀，﹣y₀），
可得=x₀²﹣（1+m）a²+y₀²=﹣ma²．
令=r₁，||=r₂，∠F₁NF₂=θ，
則由=r₁r₂cosθ=﹣ma²，可得r₁r₂=，
從而s=r₁r₂sinθ==﹣，于是由S=|m|a²，
可得﹣=|m|a²，即tanθ=，
綜上可得：當m∈[，0）時，在C₁上存在點N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，且tanθ=2；
當m∈（0，]時，在C₁上存在點N，使得△F₁NF₂的面積S=|m|a²，且tanθ=﹣2；
當時，不存在滿足條件的點N．
點評：此題是個難題．考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數形結合的思想．其中問題（II）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．