Question

【題目】已知雙曲線的左右頂點分別為.直線和兩條漸近線交于點,點在第一象限且,是雙曲線上的任意一點.

(1)求雙曲線的標準方程；

(2)是否存在點P使得為直角三角形？若存在,求出點P的個數；

(3)直線與直線分別交于點,證明：以為直徑的圓必過定點.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)4個；(3)證明過程見解析.

【解析】

(1)根據,可知,根據題意求出點的坐標,根據,求出,這樣可求出雙曲線的標準方程；

(2)分類討論以三點為直角頂點時能否構成直角三角形,最后確定點P的個數；

(3)設出點P的坐標,根據三點共線,結合斜率公式可以求出點的坐標,進而可求出以為直徑的圓,最后根據圓的標準方程,可以判斷出該圓所過的定點.

(1)因為,所以,雙曲線的漸近線方程為：,由題意可知：

而,所以,因此雙曲線的標準方程為：；

(2)因為直線的斜率為,所以與直線垂直的直線的斜率為,設點的坐標為：,則有.

當時,所以且,解得或此時存在2個點；

當時,所以且,,解得或,此時存在2個點；

當時,此時點是以線段為直徑圓上,圓的方程為：,與雙曲線方程聯立,無實數解,

綜上所述：點P的個數為4個；

(3)設點的坐標為,.

因為三點共線,所以直線的斜率相等,即

因為三點共線,所以直線的斜率相等,即 , 所以的中點坐標為：

,所以以為直徑的圓的方程為：,即

令或,因此該圓恒過兩點.