Question

【題目】已知,函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)的大致圖像；

（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，并用定義證明你的結(jié)論；

（3）試討論關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，將函數(shù)化為，由此畫出函數(shù)的圖像.（2）根據(jù)（1）的圖像寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，利用單調(diào)性的定義，通過計(jì)算，證得函數(shù)單調(diào)性.（3），由于，故函數(shù)圖像與（1）中的圖像類似.將方程解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)解.將分成五種情況，討論兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（1）如圖所示

（2）單調(diào)遞減區(qū)間：

證明：設(shè)任意的

因?yàn)?/span>，所以

于是，即

所以函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)

(3) 由題意知方程的解得個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).即函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

又，注意到，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，借助圖像知

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有1個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有3個(gè)交點(diǎn)；