點M、N、P分別是正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中的棱CC₁、BC、CD的中點.求證：A₁P⊥平面DMN.

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則D(0,0，0),A₁(2,0,?2),P(0,1,0),M(0,2,1),N(1,2,0).

∴向量=(0,1,0)-(2,0,2)=(-2,1,-2),

=(0,2,1)-(0,0,0)=(0,2,1),

DN=(1,2,0).

∴·=(-2,1,-2)·(0,2,1)=(-2)×0+1×2+(-2)×1=0,

·=(-2,1,-2)·(1,2,0)=(-2)×1+1×2+(-2)×0=0.

∴⊥, ⊥,?

即直線A₁P⊥DM,A₁P⊥DN.

又∵Dm∩DN=D,∴A₁P⊥平面DMN.

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如圖，點M，N分別是正△ABC的邊AB，AC的中點，直線MN與△ABC的外接圓的一個交點為P．設正△ABC外接圓半徑為

．
（1）求線段AB的長；
（2）求線段PM的長．

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如圖，正四棱錐P-ABCD各棱長都為2，點O，M，N，Q分別是AC，PA，PC，PB的中點．
（1）求證：PD∥平面QAC；
（2）求平面MND與平面ACD所成的銳角二面角的余弦值的大小；
（3）求三棱錐P-MND的體積．

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如圖，正四棱錐P-ABCD各棱長都為2，點O，M，N，Q分別是AC，PA，PC，PB的中點．

（1）求證：PD∥平面QAC；
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如圖，正四棱錐P-ABCD各棱長都為2，點O，M，N，Q分別是AC，PA，PC，PB的中點。
（1）求證：PD∥平面QAC；
（2）求平面MND與平面ACD所成的銳角二面角的余弦值的大小；
（3）求三棱錐P-MND的體積。

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如圖，正四棱錐P-ABCD各棱長都為2，點O，M，N，Q分別是AC，PA，PC，PB的中點．（1）求證：PD∥平面QAC；（2）求平面MND與平面ACD所成的銳角二面角的余弦值的大小；（3）求三棱錐P-MND的體積．