Question

如圖, 三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC₁上動(dòng)點(diǎn), F是AB中點(diǎn), AC =" 1," BC =" 2," AA₁ =" 4."

(1) 當(dāng)E是棱CC₁中點(diǎn)時(shí), 求證: CF∥平面AEB₁;
(2) 在棱CC₁上是否存在點(diǎn)E, 使得二面角A—EB₁—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的長, 若不存在,
請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1)取AB₁的中點(diǎn)G, 聯(lián)結(jié)EG, FG，F、G分別是棱AB、AB₁中點(diǎn), 
又FG∥EC, ,  FG＝EC　四邊形FGEC是平行四邊形, 平面AEB.
(2)在棱CC₁上存在點(diǎn)E, 符合題意, 此時(shí)

解析試題分析：(1)證明：取AB₁的中點(diǎn)G, 聯(lián)結(jié)EG, FG
F、G分別是棱AB、AB₁中點(diǎn), 
又FG∥EC, ,  FG＝EC　四邊形FGEC是平行四邊形,
                   4分
CF平面AEB₁, 平面AEB₁  平面AEB.        6分
(2)解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn), 射線CA, CB, CC₁為軸正半軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則C(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B₁(0, 2, 4)
設(shè), 平面AEB₁的法向量.
則,
由,
得     8分  
平面
是平面EBB₁的法向量,則平面EBB₁的法向量         10分
二面角A—EB₁—B的平面角余弦值為,
則解得
在棱CC₁上存在點(diǎn)E, 符合題意, 此時(shí)              12分
考點(diǎn)：線面平行的判定與二面角的求解
點(diǎn)評(píng)：線面平行的判定常借助于面內(nèi)一直線與面外直線平行來證明，第二問求二面角主要借助了空間直角坐標(biāo)系將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)半平面的法向量所成角問題