Question

【題目】求滿足下列條件的曲線的方程：

（1）離心率為，長軸長為6的橢圓的標準方程

（2）與橢圓有相同焦點，且經過點的雙曲線的標準方程．

Answer 1

【答案】（1）或； （2）

【解析】

(1)根據題意,由橢圓的幾何性質可得a、c的值,計算可得b的值,討論橢圓焦點的位置,求出橢圓的標準方程,即可得答案；

(2)根據題意,求出橢圓的焦點坐標,進而可以設雙曲線的方程為,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案．

解：（1）根據題意,要求橢圓的長軸長為6,離心率為,

則,,

解可得：,；

則,

若橢圓的焦點在x軸上,其方程為,

若橢圓的焦點在y軸上,其方程為,

綜合可得：橢圓的標準方程為或；

（2）根據題意,橢圓的焦點為和,

故要求雙曲線的方程為,且,

則有,

又由雙曲線經過經過點,則有,,

聯立可得：,

故雙曲線方程為：