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對于函數，如果存在實數使得，那么稱為的生成函數．

（1）下面給出兩組函數，是否分別為的生成函數？并說明理由；

第一組：；

第二組：；

（2）設，生成函數．若不等式

在上有解，求實數的取值范圍；

（3）設，取，生成函數圖像的最低點坐標為．若對于任意正實數且．試問是否存在最大的常數，使恒成立？如果存在，求出這個的值；如果不存在，請說明理由．

解：（1）① 設，即，

取，所以是的生成函數．………………………2分

② 設，即，

則，該方程組無解．所以不是的生成函數．…………4分

（2） ………………………5分

，即， ………………………6分

也即 ………………………7分

因為，所以 ………………………8分

則 ………………………9分

函數在上單調遞增，．故，．……10 分

（3）由題意，得，則

，解得，所以 ……………………12分

假設存在最大的常數，使恒成立．

于是設

令，則，即……………………………16分

設，．

設，

，，所以在上單調遞減，

，故存在最大的常數…………………………………18分

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=

a-x

-1（其中a為常數，x≠a）．利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：
對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述構造過程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定義域中，那么構造數列的過程繼續下去；如果x_i不在定義域中，那么構造數列的過程就停止．
（Ⅰ）當a=1且x₁=-1時，求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法構造出一個常數列，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數a，使得取定義域中的任一實數值作為x₁，都可用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于兩個定義域相同的函數f（x）、g（x），如果存在實數m、n使得h（x）=m•f（x）+n•g（x），則稱函數h（x）是由“基函數f（x）、g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x²+x和g（x）=x+2生成一個偶函數h（x），求h（

）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函數f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（3）如果給定實系數基函數f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0），問：任意一個一次函數h（x）是否都可以由它們生成？請給出你的結論并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題