Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面平面,// ,,

,且，.

（1）求證：平面；

（2）求和平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在一點使得平面平面，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）；（3）在線段上存在一點使得平面平面.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線面角、向量法等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力、轉化能力.第一問，在中，求出，在中，求出， 在中，三邊符合勾股定理，所以， 利用面面垂直的性質，得平面； 第二問，利用第一問的證明得到垂直關系，建立空間直角坐標系，得到平面BDF和平面CDE中各點的坐標，得出向量坐標，先求出平面CDE的法向量，利用夾角公式求BE和平面CDE所成的角的正弦值；第三問，假設存在F，使得，用表示，求出平面BEF的法向量，由于兩個平面垂直，則兩個法向量垂直，則， 解出.

（1）由，.,

可得．

由，且，

可得．

又．

所以．

又平面平面，

平面 平面 ，

平面，

所以平面．　　　　　　　　　 ５分

（2）如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，．

設是平面的一個法向量，則，，

即

令，則．

設直線與平面所成的角為，

則．

所以和平面所成的角的正弦值．　　　　　　 1０分

（3）設，．

，，.

則．

設是平面一個法向量，則，，

即

令，則．

若平面平面，則，即，.

所以，在線上存在一點使得平面平面. 14分