Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，an+1=λSn+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3成等差數列．
（1）求證：數列{an}為等比數列；
（2）設bn=2an﹣1，求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=λSn+1（n∈N*），∴an=λSn﹣1+1（n≥2），

∴an+1﹣an=λan，即an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0，

又a1=1，a2=λS1+1=λ+1，

∴數列{an}是以1為首項，公比為λ+1的等比數列

（2）解：∵ ，且a1、2a2、a3+3成等差數列．

∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得λ2﹣2λ+1=0，得λ=1，

∴ ．

∴ ，

∴ ，= =2n+1﹣2﹣n．

【解析】（1）an+1=λSn+1（n∈N*），可得an=λSn﹣1+1（n≥2），相減可得：an+1=（λ+1）an（n≥2），λ+1≠0，利用等比數列的通項公式即可得出．（2）由 ，且a1、2a2、a3+3成等差數列．可得4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，解得λ=1，可得an，進而得到bn．再利用等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．