Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2,點E為CC₁中點,點F為BD₁中點.

(1)證明:EF為BD₁與CC₁的公垂線(即證EF與BD₁、CC₁都垂直);
(2)求點D₁到面BDE的距離.

Answer 1

 
(1)證明:如圖,取BD中點M,連結MC、FM.

∵F為BD₁中點,
∴FM∥D₁D且.?
又且EC⊥MC,
∴四邊形EFMC是矩形.∴EF⊥CC₁.
又CM⊥面DBD₁,
∴EF⊥面DBD₁.
又面DBD₁,
∴EF⊥BD₁.
故EF為BD₁與CC₁的公垂線.
(2)解:連結ED₁,有V_E-DBD1=V_D1-DBE.
由(1)知EF⊥面DBD₁.
設點D₁到面BDE的距離為d,
則S_△DBE·d=S_△DBD1·EF.
∵AA₁=2,AB=1,
∴,.
∴,
.
∴.
故點D₁到平面BDE的距離為.

簡單幾何體和球,空間直線和平面