Question

（1）如圖，設點P，Q是線段AB的三等分點，若，，試用，表示，，并判斷與的關系；
（2）受（1）的啟示，如果點A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三角形法則及向量共線的數乘表示，分別用向量 、表示出 ，相加即得用向量 、表示 的表達式，進而判斷與的關系；
（2）受（1）的啟示，如果點A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點，歸納得出猜想 ，再數學歸納法證明結論．
解答：解：（1）如圖：點P、Q是線段AB的三等分點 =，
則 ，同理 ，（2分）
所以 （4分）
即：，
（2）設A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分點，
則 ；
證：A₁，A₂，，A_n-1是線段n≥2的 等分點，
先證明：（1≤k≤n-1，n、k∈N^*）．
由 ，，
因為 和 是相反向量，
則 ，
所以 ．
記 ，

相加得
∴．
點評：本小題主要考查平行向量與共線向量、歸納推理、數學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．