Question

（1）如圖，設點P，Q是線段AB的三等分點，若

OA

=

a

，

OB

=

b

，試用

a

，

b

表示

OP

，

OQ

，并判斷

OP

+

OQ

與

OA

+

OB

的關系；
（2）受（1）的啟示，如果點A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點，你能得到什么結論？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由三角形法則及向量共線的數乘表示，分別用向量

a

、

b

表示出

OP

，

OQ

，相加即得用向量

a

、

b

表示

OP

+

OQ

的表達式，進而判斷

OP

+

OQ

與

OA

+

OB

的關系；
（2）受（1）的啟示，如果點A₁，A₂，A₃，…，A_n-1是AB的n（n≥3）等分點，歸納得出猜想

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=

n-1

2

(

a

+

b

)，再數學歸納法證明結論．

解答：解：（1）如圖：點P、Q是線段AB的三等分點

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+

1

3

(

OB

-

OA

)，
則

OP

=

2

3

a

+

1

3

b

，同理

OQ

=

1

3

a

+

2

3

b

，（2分）
所以

OP

+

OQ

=

a

+

b

（4分）
即：

OP

=

2

3

a

+

1

3

b

，

OQ

=

1

3

a

+

2

3

b

，

OP

+

OQ

=

OA

+

OQ

，
（2）設A₁，A₂．，…，A_n-1是AB的n等分點，
則

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=

n-1

2

(

a

+

b

)；
證：A₁，A₂，，A_n-1是線段n≥2的 Sn-1=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-1+

1

4

等分點，
先證明：

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

（1≤k≤n-1，n、k∈N^*）．
由

OAk

=

OA

+

AAk

，

OAn-k

=

OB

+

BAn-k

，
因為

AAk

和

BAn-k

是相反向量，
則

AAk

+

BAn-k

=0，
所以

OAk

+

OAn-k

=

OA

+

OB

．
記 S=

OA1

+

OA2

+

OA3

+…+

OAn-2

+

OAn-1

，
S=

OAn-1

+

OAn-2

+…+

OA2

+

OA1

相加得 2S=(

OA1

+

OAn-1

)+(

OA2

+

OAn-2

)+…+(

OAn-1

+

OA1

)=(n-1)(

OA

+

OB

)
∴

OA1

+

OA2

+…+

OAn-1

=

n-1

2

(

a

+

b

)．

點評：本小題主要考查平行向量與共線向量、歸納推理、數學歸納法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．