Question

（2007•浦東新區二模）已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（1）求拋物線C的方程．
（2）設直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0），M是弦AB的中點，過M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D，得到△ABD；再分別過弦AD、BD的中點作平行于x軸的直線依次交拋物線C于點E，F，得到△ADE和△BDF；按此方法繼續下去．
解決下列問題：
①求證：a2=

16(1-kb)

k2

；
②計算△ABD的面積S_△ABD；
③根據△ABD的面積S_△ABD的計算結果，寫出△ADE，△BDF的面積；請設計一種求拋物線C與線段AB所圍成封閉圖形面積的方法，并求出此封閉圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義即可得出；
（2）①把直線AB的方程與拋物線方程聯立得到△＞0及根與系數的關系，再利用|y₁-y₂|=a（a＞0）即可得出；
②利用中點坐標公式和三角形的面積計算公式即可得出；
③由問題②知，△ABD的面積值僅與|y₁-y₂|=a有關，由于|yA-yD|=

a

2

 ，   |yB-yD|=

a

2

，可得△ADE與△BDF的面積S△ADE=S△BDF=

( a 2 )3

32

=

a3

32×8

=

a3

256

，設an=2n-1•

a3

32×8n-1

=

a3

32×4n-1

．由題設當中構造三角形的方法，可以將拋物線C與線段AB所圍成的封閉圖形的面積．看成無窮多個三角形的面積的和，即數列{a_n}的無窮項和，

解答：解：（1）由拋物線定義，拋物線C：y²=2px（p＞0）上點P（4，y₀）到焦點的距離等于它到準線x=-

p

2

的距離，得5=4+

p

2

 ， ∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）由

y2=4x y=kx+b

，得ky²-4y+4b=0，（或k²x²+（2kb-4）x+b²=0）
當△=16-16kb＞0，即kb＜1且k≠0時，y1+y2=

4

k

 ， y1y2=

4b

k

（或x1+x2=

4-2kb

k2

 ， x1x2=

b2

k2

）
①由|y₁-y₂|=a，即(y1+y2)2-4y1y2=a2，得

16

k2

-

16b

k

=a2，
所以a2=

16(1-kb)

k2

．
②由①知，AB中點M的坐標為(

2-kb

k2

 ， 

2

k

)，點C (

1

k2

 ， 

2

k

)，S△ABC=

1

2

|MC|•|y1-y2|=

1

2

 |

1-kb

k2

|•a=

a3

32

．
③由問題②知，△ABD的面積值僅與|y₁-y₂|=a有關，由于|yA-yD|=

a

2

 ，   |yB-yD|=

a

2

，
所以△ADE與△BDF的面積S△ADE=S△BDF=

( a 2 )3

32

=

a3

32×8

=

a3

256

，設an=2n-1•

a3

32×8n-1

=

a3

32×4n-1

．
由題設當中構造三角形的方法，可以將拋物線C與線段AB所圍成的封閉圖形的面積
看成無窮多個三角形的面積的和，即數列{a_n}的無窮項和，
所以S=

a3

32

+2•

a3

32×8

+22•

a3

32×82

+23•

a3

32×83

+…+2n

a3

32×8n

+…
即S=

a3

32

+

a3

32×4

+

a3

32×42

+

a3

32×43

+…+

a3

32×4n

+…=

a3

24

，
因此，所求封閉圖形的面積為

a3

24

．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題把直線的方程與橢圓方程聯立可得△＞0及其根與系數的關系、拋物線的定義、中點坐標公式和三角形的面積計算公式、用有限求無限的極限思想方法等是解題的關鍵．