Question

如圖6所示，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x2＝2py(p＞0)上.

圖6
（1）求拋物線E的方程；
（2）設動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y＝－1相交于點Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.

Answer 1

（1）x²＝4y（2）見解析

解：（1）依題意，|OB|＝8，∠BOy＝30°.
設B(x，y)，則x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12.
因為點B(4，12)在x²＝2py上，所以(4)²＝2p×12，解得p＝2.
故拋物線E的方程為x²＝4y.
（2）由（1）知y＝x²，y′＝x.
設P(x₀，y₀)，則x₀≠0，且l的方程為y－y₀＝x₀(x－x₀)，即y＝x₀x－.
由得
所以Q.
假設以PQ為直徑的圓恒過定點M，由圖形的對稱性知M必在y軸上，設M(0，y₁)，令·＝0對滿足y₀＝ (x₀≠0)的x₀，y₀恒成立.
由于＝(x₀，y₀－y₁)，＝.
由·＝0，得－y₀－y₀y₁＋y₁＋＝0.
即(＋y₁－2)＋(1－y₁)y₀＝0.(*)
由于(*)式對滿足y₀＝ (x₀≠0)的y₀恒成立，所以
解得y₁＝1.
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).