Question

直線l：x-2y-4=0與橢圓x²+my²=16相交于A、B兩點，弦AB的中點為P（2，-1）．（1）求m的值；（2）設橢圓的中心為O，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）先把直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂的表達式，進而根據其中點的坐標求得m．
（2）把（1）中求得橢圓方程與直線方程聯立消去y，進而根據韋達定理求得x₁x₂的值，進而求得出|AB|的距離和坐標原點到直線的距離，進而根據三角形面積公式求得答案．

解答：解：（1）：

x-2y-4=0 x 2+my 2=16

消去y，整理得（

m

4

+1）x²-2mx+4m-16=0
∴x₁+x₂=

2m

m 4 +1

=4，則m=4
（2）由（1）知

x-2y-4=0 x 2+4y 2=16

，消去y，
∴x₁x₂=0
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2

=2

5

坐標原點O到直線x-2y-4=0的距離為d=

4

1+4

=

4

5

∴三角形ABC的面積為

1

2

×|AB|×d=4

點評：本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系，點到直線的距離公式等，考查了學生綜合分析問題和推理的能力．