Question

已知關于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）當m為何值時，方程C表示圓．
（2）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M，N兩點，且|MN|=

4

5

，求m的值．
（3）在（2）條件下，是否存在直線l：x-2y+c=0，使得圓上有四點到直線l的距離為

1

5

，若存在，求出c的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將方程C：x²+y²-2x-4y+m=0變形為（x-1）²+（y-2）²=5-m因此方程C表示圓?5-m＞0．
（2）由（1）可得利用圓心C（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離d，半徑  r=

5-m

，以及弦長的一半

|MN|

2

滿足勾股定理 r2=d2+(

1

2

MN)2即可求出m的值．
（3）在（2）條件下m=4可假設存在這樣的直線使得圓上有四點到直線l的距離為

1

5

故圓心C（1，2）到直線l：x-2y+c=0的距離d＜1-

1

5

求出m的范圍即可．

解答：解：（1）方程C可化為  （x-1）²+（y-2）²=5-m
顯然  5-m＞0時，即m＜5時方程C表示圓．
（2）圓的方程化為  （x-1）²+（y-2）²=5-m
圓心 C（1，2），半徑為r=

5-m

則圓心C（1，2）到直線l：x+2y-4=0的距離為d=

|1+2×2-4|

12+22

=

1

5

∵MN=

4

5

，則

1

2

MN=

2

5

，有 r2=d2+(

1

2

MN)2
∴5-m=(

1

5

)2+(

2

5

)2，
得  m=4
（3）設存在這樣的直線
圓心 C（1，2），半徑r=1
則圓心C（1，2）到直線l：x-2y+c=0的距離為d=

|1-2×2+c|

12+22

=

|c-3|

5

＜|1-

1

5

|
解得4-

5

＜c＜2+

5

點評：本題主要考察了直線與圓的綜合，屬常考題型，較難．解題的關鍵是熟記x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圓的等價條件D²+E²-4F＞0以及弦長的一半，半徑，圓心到直線的距離所滿足的關系式 r2=d2+(

1

2

MN)2！