Question

已知點M（-3，0），N（3，0），B（1，0），圓C與直線MN切于點B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P，則P點的軌跡方程為

 

．

Answer 1

分析：PM，PN分別與圓C相切于R、Q，根據圓的切線長定理，能夠推導出PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN，因此點P的軌跡是以M、N為焦點的雙曲線．再根據題條件能夠求出P點的軌跡方程．

解答：解：由已知，設PM，PN分別與圓C相切于R、Q，
根據圓的切線長定理，有PQ=PR，MQ=MB，NR=NB；
∴PM-PN=QM-RN=MB-NB=2＜MN
∴點P的軌跡是以M、N為焦點的雙曲線，
由于M、N兩點關于y軸對稱，且在x軸上，
故其方程可設為標準方程：

x2

a2

-

y2

b2

 =1，
∵點M（-3，0），N（3，0），PM-PN=QM-RN=MB-NB=2，
∴c=3，a=1，所以b²=8
∴點P的軌跡方程為：x2-

y2

8

=1．

點評：本題考查雙曲線的基本性質和圓的切線長定理，解題時要注意審題．