Question

已知橢圓E的左，右焦點坐標分別為（-2，0），（2，0），離心率是

6

3

，過左焦點任作一條與坐標軸不垂直的直線交E于A、B兩點．
（1）求E的方程；
（2）已知點M（-3，0），試判斷直線AM與直線BM的傾斜角是否總是互補，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意知

c=2 c a = 6 3

，由此能求出橢圓方程．
（2）直線AM與直線BM的傾斜角總是互補．理由如下：設AB的方程為：y=k（x+2），k≠0，聯立

y=k(x+2) x2 6 + y2 2 =1

，得（1+3k²）x²+12k²x+12k²-6=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

-12k2

1+3k2

，x1•x2=

12k2-6

1+3k2

，由此得到k_AM=-k_BM，故直線AM與直線BM的傾斜角總是互補．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意知

c=2 c a = 6 3

，
解得a²=6，b²=2，
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）直線AM與直線BM的傾斜角總是互補．理由如下：
根據題意設AB的方程為：y=k（x+2），k≠0，
聯立

y=k(x+2) x2 6 + y2 2 =1

，得（1+3k²）x²+12k²x+12k²-6=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=

-12k2

1+3k2

，①
x1•x2=

12k2-6

1+3k2

，②
kAM+kBM=

y1

x1+3

+

y2

x2+3

=

k(x1+2)

x1+3

+

k(x2+2)

x2+3

=

k[2x1x2+5(x1+x2)+12]

x1x2+3(x1+x2)+9

，
把①②代入，得2x₁x₂+5（x₁+x₂）+12=0，
∴k_AM+k_BM=0，即k_AM=-k_BM，
∴直線AM與直線BM的傾斜角總是互補．

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，橢圓方程的求法．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．解題時要認真審題，仔細解答．