Question

2013年4月20日8點02分四川省雅安市蘆山縣（北緯30.3度，東經103.0度）
發生7.0級地震，此次地震中，受災面積大，傷亡慘重，醫療隊到達后，都會選擇一個合理的位置，使傷員能在最短的時間內得到救治．醫療隊首先到達O點，設有四個鄉鎮，分別位于一個矩形ABCD的四個頂點A，B，C，D，為了救災及災后實際重建需要．需要修建三條小路OE、EF和OF，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，AB=50千米，BC=25

3

千米且∠EOF=90°，如圖所示．
（1）設∠BOE=α，試將△OEF的周長表示成α的函數關系式，并求出此函數的定義域；
（2）經核算，三條路每千米鋪設費用均為400元，試問如何設計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用．

Answer 1

（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=

25

cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=

25

sinα

．
又∠EOF=90°，
∴EF=

OE2+OF2

=

25

cosαsinα

，
∴l=OE+OF+EF=

25

cosα

+

25

sinα

+

25

cosαsinα

=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

．
當點F在點D時，這時角α最小，求得此時α=

π

6

；
當點E在C點時，這時角α最大，求得此時α=

π

3

．
故此函數的定義域為[

π

6

，

π

3

]．
（2）由題意知，要求鋪路總費用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．
由（1）得，l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

，α∈[

π

6

，

π

3

]．
設sinα+cosα=t，則sinαcosα=

t2-1

2

，
∴l=

25(t+1)

t2-1 2

=

50

t-1

由t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），
又

5π

12

≤α+

π

4

≤

7π

12

，得

3 +1

2

≤t≤

2

，
∴

2

+1≤

1

t-1

≤

3

+1，
∴α=

π

4

，即BE=25時，l_min=50（

2

+1），
∴當BE=AF=25米時，鋪路總費用最低，最低總費用為20000（

2

+1）元．