Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間（t，3）上總存在極值？
（Ⅲ）當a=2時，設函數h(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3，若在區間[1，e]上至少存在一個x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，試求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意及函數解析式需用導函數來求其單調區間；
（II）由導函數的幾何意義可以先求出a的值，此時函數f（x）就具體了，然后代入g（x）的解析式，再利用一元3次函數存在極值的充要條件建立m的不等式即可；
（III）由題意構建新函數F（x），這樣問題轉化為使函數F（x）在[1，e]上至少有一解的判斷．

解答：解：（Ι）當a=1時，函數f（x）=alnx-ax-3=lnx-x-3；導函數為f′(x)=

1

x

-1；
當0＜x＜1時，函數f（x）單調遞增，當時x＞1時，函數f（x）單調遞減；
故減區間為（1，+∞），增區間為（0，1）；
（Ⅱ）∵g（x）=x3+x2[

m

2

+f′(x)]=x3+(2+

m

2

)x²-2x，
∴g‘（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵g（x）在區間（t，3）上總存在極值，∴g‘（x）=3x²+（4+m）x-2在區間（t，3）上存在零點，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0.

解得-

37

3

＜m＜-9．
所以當m∈(-

37

3

，-9)時，對于任意的t∈[1，2]函數g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區間（t，3）上總存在極值．
（Ⅲ）∴令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3-2lnx+2x+3=px-

p

x

-

2e

x

-2lnx
①當p≤0時，由x∈[1，e]得px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立；
②當p＞0時，F'（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，px²+p＞0，F'（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上單調遞增．
∴F(x)max=F(e)=pe-

p

e

-4．
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

．所以p的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點評：（I）此題在這一問重點考查了函數上某點處的導函數值的幾何意義是此函數在該點處與函數相切的切線的斜率，還考查了利用導函數求函數的單調區間的方法；
（II）在此重點考查了導數的集合意義及連續函數在閉區間有極值的充要條件；
（III）此處重點考查了等價轉化的思想，把問題轉化為構建一新函數，并考查了函數F（x）在定義域下恒成立問題．