Question

【題目】設函數．

（1）若函數在上為減函數，求實數的最小值；

（2）若存在，使成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最小值為．（2）

【解析】

（1）根據題意，確定函數定義域，然后求導，若函數在上為減函數，則在上恒成立，轉化不等式為，令，求解的最小值，則，即可求解參數最值.

（2）問題等價于當時，有，通過討論的范圍，得到函數的單調區間，從而求出的具體范圍即可.

（1）由已知得的定義域，

∵在上為減函數，

∴在上恒成立，

，

令，故當，即時，

的最小值為，∴，即∴的最小值為．

（2）命題“若存在，使成立”，

等價于“當時，有”，

由（1）知，當時，，，

，

，

問題等價于：“當時，有”，

①當，即時，由（1），在上為減函數，

則．

②當，即時，，

∵，由復合函數的單調性知在上為增函數，

∴存在唯，使且滿足：

，

要使，

與矛盾，∴不合題意．

綜上，實數的取值范圍為．