Question

設(shè)橢圓的左右焦點分別為F₁、F₂A是橢圓C上的一點，且，坐標原點O到直線AF₁的距離為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點，過點Q的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點M，若|MQ|=2|QF|，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（1）題設(shè)知F₁和F₂的坐標，根據(jù)，推斷有，設(shè)點A的坐標為根據(jù)原點O到直線AF₁的距離求得a，進而求得b．答案可得．
（2）設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），設(shè)Q（x₁，y₁），由于Q，F(xiàn)，三點共線，且|MQ|=|2QF|．進而可得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y），求得x₁和y₁，代入橢圓方程即可求得k，進而得到直線斜率．
解答：解：（1）由題設(shè)知F₁（-，0），F(xiàn)₂（，0），其中a＞
由于，則有，所以點A的坐標為（±
故AF₁所在直線方程為y=±（），所以坐標原點O到直線AF₁的距離為，
又|OF₁|=，所以=|=，解得：a=2．
∴所求橢圓的方程為．
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），故M（0，k）．
設(shè)Q（x₁，y₁），由于Q，F(xiàn)，三點共線，且|MQ|=|2QF|．
根據(jù)題意得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得或
又Q在橢圓C上，故或，
解得k=0，k=±4，綜上，直線的斜率為0或±4
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的關(guān)系．常需要直線方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求得問題．