Question

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知C=

π

3

．
（1）若a=2，b=3，求邊c；
（2）若c=

3

，sinC+sin（B-A）=sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由a，b及cosC的值，利用余弦定理即可求出c的值；
（2）由A，B，C為三角形內角，得到C=π-（A+B），代入已知等式化簡，左邊利用和差化積公式變形，當cosA不為0時，得到sinA=sinB，即A=B，確定出三角形為等邊三角形，求出此時面積；當cosA=0時，確定出A度數為90度，即此時三角形為直角三角形，求出此時面積即可．

解答：解：（1）∵a=2，b=3，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+9-6=7，
則c=

7

；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π-（A+B），
∴sinC+sin（B-A）=sin2A化簡為：sin（B+A）+sin（B-A）=2sinAcosA，即2sinBcosA=2sinAcosA，
當cosA≠0時，sinA=sinB，
∵A、B為三角形內角，
∴A=B或A+B=π（舍去），
又C=

π

3

，c=

3

，
∴△ABC為等邊三角形，
此時S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

；
當cosA=0時，A=

π

2

，
∴△ABC為直角三角形，B=

π

6

，
設b=x，則a=2x，
根據勾股定理得：x²+（

3

）²=（2x）²，
解得：x=1，
則b=1，a=2，
此時S_△ABC=

1

2

absinC=

3

2

．

點評：此題考查了余弦定理，勾股定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．