Question

（2013•淄博一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在線段AM上是否存在點P，使二面角P-EC-D的大小為

π

6

？若存在，求出AP的長h；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF，通過直線與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC；
（II）對于存在性問題，可先假設存在，即假設x在線段AM上是否存在點P，使二面角P-EC-D的大小為

π

6

．再通過建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，結合向量的數量積求出二面角P-EC-D的大小，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）CM與BN交于F，連接EF．
由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，
所以F是BN的中點．
因為E是AB的中點，
所以AN∥EF．…（7分）
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…（9分）
（II）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點，可得DE⊥AB．
又四邊形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，
如圖建立空間直角坐標系D-xyz，則D（0，0，0），E（

3

，0，0），C（0，2，0），P（

3

，-1，h），

CE

=（

3

，-2，0），

EP

=（0，-1，h），設平面PEC的法向量為

n1

=（x，y，z）．
則

CE • n1 =0 EP • n1 =0

，∴

3 x-2y=0 -y+hz=0

，
令y=

3

h，∴

n1

=（2h，

3

h，

3

），又平面ADE的法向量

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

7h2+3

=

3

2

，解得h=

7

7

，
∴在線段AM上是否存在點P，當h=

7

7

時使二面角P-EC-D的大小為

π

6

．

點評：本題考查存在性問題，直線與平面平行的判斷，二面角的求法，考查空間想象能力與計算能力．